如何证明邻居公司非法获取了我的客户名单？

可通过调查对方获取信息的渠道、比对客户名单的相似性，以及是否存在非法接触行为来证明。

建议联系专业调查机构协助取证，并向市场监管部门举报，同时寻求法律途径追究其责任。